Введение понятия функции в программе А.Г. Мордковича "Алгебра 7"

График является средством, позволяющим показать сразу всю зависимость, причем графический способ первоначально возникает как другое средство описания зависимости и в последствии становится самостоятельным способом существования зависимости. Таким образом, описание зависимостей также рассматривается с позиций двух языков – алгебраического и геометрического.

Однозначные и неоднозначные зависимости

Далее показывается, что для некоторых зависимостей возможны достаточно явные переходы от одного описания к другому, а для других – нет.

Выделяется класс зависимостей, для которых такие переходы возможны, а именно, зависимости определяемые формулами "у=выражение". Поскольку зависимая переменная y вводится в явном виде как "заместитель" переменной, представляющей собой собственно выражение, любая формула задает однозначную зависимость. Действительно, выражение в правой части представляет собой последовательность действий (программу), при заданных значениях переменных приводящую к однозначному результату – конкретному значению y. Однозначные зависимости и называют функциями.

Область определения функции

Далее авторы вводят в рассмотрение область определения функции как некоторые "смысловые ограничения" на независимую переменную. Введение области определения позволяет завершить построение определения функции.

Введение функциональной символики

Вводится новый объект - кусочные функции, что позволяет рассмотреть общий способ описания зависимости и приводит к введению функциональной символики. Заметим, что общая функциональная символика используется далее для введения общего способа преобразования графиков функций f(x) + l, f(x + m).

Итак, мы выделили следующую логику введения понятия функции. Изначально рассматривается аналитический способ задания зависимостей между переменными величинами. Переход к графическому способу позволяет выделить два класса зависимостей: однозначные и неоднозначные. Однозначные зависимости называются функциями. Для полного описания функции вводится область определения. Таким образом, логика введения понятия функции в данном курсе подобна реконструированной нами логике исторического развития этого понятия.

Заметим, что, в отличие от программы А.Г. Мордковича, в данном курсе не рассматриваются задачи на возрастание и убывание функций, по-видимому, это связано с тем, что программа РО находится в стадии разработки. Однако в курсе С.Ф. Горбова также прослеживается тесная связь линейного уравнения и линейной функции как в графической так и в аналитической формах.

Применим схему, изображенную на рис 1.1 для анализа связи понятий линейной функции с линейным уравнением в курсе Горбова С. Ф.

Линейное уравнение - это равенство, в которое неизвестные входят в первой степени, нет их произведения, и хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Линейная функция – зависимость между переменными, которая выражается формулой вида у=kx+m. Заметим, что ограничений на коэффициенты не вводятся. Содержательно понятия линейной функции и линейного уравнения отличаются, хотя по форме записи могут совпадать. Так, линейное уравнение вводится как "способ для описания геометрической фигуры на плоскости на языке алгебры", тогда как линейная функция – это способ записи линейной зависимости . Заметим, что в курсе нами не были обнаружены задания, посредством которых явно осуществлялся бы переход от линейного уравнения (канонического вида ax+by+c=0) к виду линейной функции. заданных аналитически. Этот переход осуществляется посредствам обращения к графику линейной функции и линейного уравнения, т.е. прямой на координатной плоскости, с помощью специально организованной ситуации затруднения. Таким образом, можно говорить, что связь ЛФ↔ЛУ присутствует, но она не явная, поэтому на схеме этот переход обозначим символом "← – →".

В задачнике есть задачи, в которых необходимо описать прямую на алгебраическом языке и наоборот. В курсе С.Ф. Горбова прямая интерпретируется как ГМТ на координатной плоскости, поэтому линейным уравнением можно описать любую прямую на координатной плоскости. Итак, связь ГЛУ ↔ЛУ восстанавливается полностью.

Другая информация:

Методика проведения сюжетных физкультурных занятий с детьми старшего дошкольного возраста
Для детей ведущей деятельностью является выполнение игровых действии. В первую очередь это действие с предметами, в которых дети пытаются воспроизвести наблюдаемый ими способ употребления предмета. Дети принимают на себя роль, осваиваются в воображаемой ситуации, но не обыгрывают эти предметы. Осно ...

Научно-исследовательская работа в высшей школе
В вузах Российской Федерации научные исследования направлены на разработку фундаментальных проблем в той области, для которой данный вуз готовит специалистов. Важное место занимают также исследования по проблемам высшей школы, совершенствованию учебного процесса, повышению качества подготовки выпус ...

Сущность, функции и принципы профессионального обучения
Профессиональное обучение — это управляемый педагогический процесс познания определенной профессионально-трудовой области, организованный способ получения систематического профессионального образования. Процесс профессионального обучения включает в себя два взаимосвязанных компонента: профессиональ ...