Введение понятия функции в программе А.Г. Мордковича "Алгебра 7"

На этом этапе происходит понимание того, что средством показать все решения любого линейного уравнения служит его график, который можно построить всего по двум точкам. Об обратной связи, т.е. о том, что любую прямую на координатной плоскости можно описать линейным уравнением, в учебнике ничего не упоминается (отсутствует переход ГЛУ→ЛУ). Таким образом, отношение между линейным уравнением и прямой на координатной плоскости дается не полностью (на схеме переход ЛУ→ГЛУ).

Линейная функция определена в учебнике как "частный вид линейного уравнения у=kx+m, где k, m – числа, причем k≠0.

Заметим, что в определении линейной функции уже обозначено отношение, в котором состоят линейная функция и линейное уравнение: по форме записи линейная функция - частный случай линейного уравнения. Мы отмечали, что это так только с точки зрения формы записи, но А.Г. Мордкович глобализует это определение, поскольку не вводит понятие зависимости и не предполагает за термином "функция" никаких других смыслов. В учебнике производится преобразование линейного уравнения к виду у=kx+m, но не дается обратного преобразования, которое бы подтверждало, что "линейная функция – специальный вид линейного уравнения", таким образом эта связь односторонняя "ЛУ→ЛФ".

График линейной функции определяется А.Г. Мордковичем следующим образом: "Графиком уравнения у=kx+m, как и всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая – ее называют график линейного уравнения". Алгебраически любая прямая, за исключением прямой, параллельной оси ОУ, описывается с помощью линейной функции. Но из-за того, что А.Г. Мордкович требует наличия в уравнении как переменной у так и переменной х, он отказывает быть графиком функции также и прямой, параллельной оси ОХ. Это приводит к дефектности формируемого понятия функции, а именно, учащиеся считают, что выражение вида у=с функцией не является.

Когда автор определяет график линейной функции, он упоминает, что график линейного уравнения и график линейной функции тождественные объекты, поэтому никаких вопросов здесь не возникает. На схеме данная ситуация изображена сходящимися стрелочками.

Итак, схема, изображенная на рис.1.1, конкретизируется для программы А.Г. Мордковича так как показано на рис.1.2. Представление о функции, как о зависимости, вообще исключено из рассмотрения.

Попытаемся понять, каким образом выстроенная так редукция влияет на качество понятий.

Как мы уже отмечали, в логике программы А.Г. Мордковича прямая у=с, где с – некоторое число, не представляет собой линейную функциональную зависимость (линейную функцию) . Это объясняется тем, что на коэффициент в определении линейной функции у=kx+m наложено условие k≠0, что ограничило область действия линейного оператора. На самом же деле, у=с является линейной функцией. Отметим, что с помощью формулы линейной функции можно описать все прямые, кроме вертикальной х=а, поскольку одному значению х соответствует бесконечно много значений у.

Графиком линейного уравнения в данном подходе могут быть только прямые, непараллельные осям, поскольку коэффициенты линейного уравнения не должны быть равными нулю.

Таким образом, при внимательном прочтении текста учебника можно классифицировать множество прямых на плоскости по способу их описания. Существуют прямые, которые описываются:

а) с помощью линейных функций и линейных уравнений с двумя неизвестными – все наклонные прямые;

б) только при помощи линейных уравнений с одним неизвестным – все прямые параллельные осям координат.

Вопрос о том, как связаны линейное уравнение с одним неизвестным и линейная функция, в учебнике не обсуждается.

Подведем итог. Мы обнаружили следующие дефициты.

Определение линейного уравнения и линейной функции даются через фиксирование формы записи этих объектов, а не с точностью до тождественных преобразований.

Другая информация:

Роль и место математики в профилях различных направлений
Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих школьников. В тоже время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма ...

Роль природы в экологическом воспитании школьников
Вопрос об экологическом воспитании учащихся в школе возник в связи с необходимостью решения проблемы улучшения и сохранения окружающей среды. Под экологическим образованием понимается непрерывный процесс обучения, воспитания и развития личности, направленный на формирование системы научных и практи ...

Россия - родина выдающейся школы китаеведения
Российское китаеведение, западная синология и китаеведение в странах иероглифического культурного ареала составляют на сегодняшний день три столпа международного китаеведения и занимают важнейшее место в истории мирового китаеведения. Российские китаеведы сыграли ключевую роль в процессе распростра ...