Введение понятия функции в программе А.Г. Мордковича "Алгебра 7"

Формально формулу у=kx+m можно считать уравнением с двумя переменными, которое имеет специальную форму записи. Таким образом, линейная функция лишь по форме записи является частным случаем линейного уравнения с двумя переменными. На смысловом уровне уравнение понимается как условие на связь между равноправными неизвестными, тогда как функция понимается как зависимость одной переменной от другой. Конечно, зависимость может быть задана в неявном виде (неявным уравнением), но при этом она может оказаться нефункциональной (нарушится условие однозначности).

Перед тем как говорить о графиках функции и уравнения дадим определение. "Чтобы задание функции графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определённо. Поэтому для графического задания функции должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию функции; однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек)" . График уравнения представляется как геометрическое место точек всех решений линейного уравнения.

График не любого уравнения можно рассматривать как график некоторой функции, например, окружность радиуса r является графиком уравнения х2+у2=r2, но графиком функции не является. Если линейное уравнение содержит два неизвестных (не вырождено), то его уравнение всегда является графиком функции.

График функции можно понимать как геометрическое место точек, каждая из которых показывает зависимость между переменными, выражаемую формулой у=f(х). Таким образом, график функции – это способ показать зависимость геометрически. Графики невырожденного линейного уравнения и линейной функции, дающей ее решения, совпадают. Если понимать под графиком не только линию на плоскости, но и ее аналитическое обозначение, то графики линейных уравнения и функции не являются тождественными объектами, поскольку одному и тому же графику может соответствовать только одна линейная функция, но класс линейных уравнений.

По данному графику функция восстанавливается однозначно, а линейное уравнение – с точностью до пропорциональности коэффициентов.

Можно утверждать, что график является геометрической моделью алгебраического объекта - уравнения (функции).

Основываясь на вышесказанном, можно построить схему анализа связи понятий линейной функции и линейного уравнения, изображенную на рис 1.1.

функция алгебра школа учитель

Поясним графику схемы. Верхняя плоскость содержит алгебраические структуры, нижняя – геометрические. Между плоскостями существует модельный характер взаимосвязи. РИС 1.1

Символ "↔" обозначает, что между объектами возможно осуществление действия перехода от одного объекта, обозначенного на схеме, к другому, и они находятся в определенных отношениях.

Отметим, что на схеме показано, что линейному уравнению соответствуют прямые из множества произвольных прямых на координатной плоскости, тогда как линейной функции соответствуют только прямые из множества прямых, не параллельных оси ОY.

Применение схемы для анализа способа введения понятия линейная функция в программе А.Г. Мордковича

Теперь проанализируем при помощи этой схемы способ введения понятия линейная функция А.Г. Мордковича, используя элементы описанные выше при построении общей схемы анализа.

Дл я удобства введем следующие сокращения:

ЛФ – линейная функция;

ЛУ – линейное уравнение;

ГЛФ – график линейной функции;

ГЛУ – график линейного уравнения.

Восстановим как определяются линейное уравнение и его график, приводимое А.Г. Мордковичем. Линейное уравнение с двумя неизвестными – это равенство ax+by+c=0, где a, b, с – числа. Прямая l ( он изображена на рисунке в учебнике) является графиком уравнения х+ у -3=0. Говорят также, что прямая l – геометрическая модель уравнения х+у-3=0 .

Другая информация:

Учреждения общего образования
Тип “общеобразовательное учреждение” подразделяется на виды: начальная общеобразовательная школа; основная общеобразовательная школа; средняя (полная) общеобразовательная школа, в том числе с углубленным изучением отдельных предметов; лицей; гимназия; вечерняя (сменная) общеобразовательная школа; ц ...

Пример урока об антропогенном воздействии в результате войн и вооруженных конфликтов
Предмет: география Класс: 9 - 10 Тема урока: "География вооруженных конфликтов и их экологические последствия" Цель урока: изучение географии современных войн и вооруженных конфликтов и их экологических последствий; Задачи: Изучить географию современных войн и вооруженных конфликтов; Разв ...

Православные детские и молодежные организации
Современные детские организации различны по форме, структуре, степени скоординированности, целям, содержанию и направлениям деятельности. Что касается религиозных детских объединений – это организации, деятельность которых направлена на духовно-нравственное воспитание подрастающего поколения. Прооб ...