Логико-историческая реконструкция понятия функции

Отметим, что в "Геометрии" Декарта, в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер. Оно было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость однозначно изменяются с течением времени, т.е. являются функциями от времени (t), что хорошо видно на графике зависимости. Такое представление позволило им разделять два вида кривых: первый – те, у которых абсцисса однозначно соответствует ординате, второй – кривые, где однозначного соответствия нет. Это представление было "интуитивным", явное понимание функции как однозначном соответствии появилось лишь в XIX веке.

Проследим дальнейшее развитие представлений о функции на примере некоторых определений, которые предлагали ученые XVII – XIX веков.

Определение понятия "функция"

Как термин в нашем смысле выражение "функция от х" стало употребляться Лейбницем и И.Бернулли начиная с 1698 г.: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных, т.е. аналитическим выражением" .

Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Под аналитическим выражением понималось алгебраическое равенство в виде конечной композиции элементарных функций, в том числе и бесконечные ряды. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную "свободным влечением руки". В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Фактически этот вопрос можно переформулировать так: любую ли кривую можно описать аналитически?

Вопрос о возможности описания кривой некоторой формулой, привел к возникновению спора, связанного с исследованием колебаний струны. На основе определения Эйлера французский математик С.Ф. Лакруа в своем "Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению", опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: "Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому".

Как видно из последнего определения, ученые XVIII в. понимали под функцией не только аналитическое выражение, как в первоначальном определении Эйлера, но и другие формы задания зависимости "одного количества от многих других количеств".

Таким образом, зарождалось понимание функции как отношения между аналитическим и графическим способами задания зависимости между переменными величинами.

Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию (зависимость) задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, в контексте задачи о решении волнового уравнения, внес французский математик Ж. Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой.

Другая информация:

Понятия, особенности фразеологии
Фразеология в соответствии с различием фразеологизмов – идиом, фразеологических сочетаний и устойчивых фраз (пословиц, крылатых слов и других фразеологизмов – предложений) многими исследователями делится на фразеологию в узком смысле, исследующую фразеологизмы – идиомы и фразеологические сочетания, ...

Классификация методов обучения
Не менее сложным и вызывающим дискуссии является вопрос о классификации методов обучения. Дидактические исследования показывают, что номенклатура (наименование) и классификация методов обучения характеризуются большим разнообразием в зависимости от того, какой подход избирается при их разработке. Р ...

Подходы к определению выпуклого многогранника
После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоуголь­ников, так и выпуклых много ...