Логико-историческая реконструкция понятия функции

На данном этапе можно говорить о том, что происходит переход от рассмотрения рядов чисел, полученных при измерении величин (переменных, постоянных), к составлению формул, которые описывают закон изменения одной из них в зависимости от изменения другой.

Зависимости между бесконечно малыми переменными величинами

Бесконечно малые величины характерны тем, что при рассмотрении отношения между ними может быть получено выражение вида 0/0, которое не имеет смысла. Вследствие этого появилась идея рассматривать не само отношение, а число, к которому стремится данное отношение, т.е. предел отношения.

В качестве примера, где рассматривались отношения бесконечно малых величин, можно привести задачу Галилея о равноускоренном движении. Предположим, что некоторое тело движется по такому закону, что его скорость в разные моменты времени изменяется одинаково. Пусть движение начинается с положения покоя, требуется найти закон, описывающий путь, который пройдет тело за данный промежуток времени. При решении этой задачи получаем, что отношение изменения величины пути ΔS к изменению величины времени Δt не является постоянной величиной, т.е. . Значит, если бы мы вычисляли мгновенную скорость так же, как вычисляем среднюю, т.е. деля пройденное расстояние на требующееся для его прохождения время, то получили бы выражение 0/0. Вычисляя же средние скорости близкие к мгновенной, нам остается лишь посмотреть, к какой величине они стремятся.

Именно здесь встает один из ключевых вопросов в развитии понятия функция: как суметь перейти от отношения определенных величин к отношению бесконечно малых величин, которые, тем не менее, являются вполне определенными? Как вообще описать зависимость одной величины от другой? Вот здесь и появляются идеи о производной как отношения двух бесконечно малых приращений (изменений), и восстановлении зависимости по ее производной.

Позднее, в "Методе флюксий" Ньютон четко сформулировал обе задачи зависимости бесконечно малых в рамках метода исчисления: первую - по данному соотношению между флюентами (переменными) определить соотношение между флюксиями (производными - "скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порожденного движения"); вторую - по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами.

Таким образом нам удалось проследить этапы становления понятия функции как зависимости между величинами. Теперь проследим какие результаты были получены в процессе решения задачи об аналитическом описании геометрической интерпретации зависимости.

Понятие функции как однозначной зависимости между величинами

Благодаря геометрической интерпретации зависимости между переменными в представление о функции вошел такой момент как однозначность.

Одними из первых, кто активно начали использовать систему координат для иллюстрации каких-либо процессов, были Ферма и Декарт. В своих работах Ферма дал геометрическое представление уравнения с двумя переменными с помощью системы координат. Он показал, что кривая, которая задается квадратным уравнением, есть коническое сечение – эллипс, парабола, гипербола. Существенным недостатком его теории было то, что он продолжал придерживаться античного правила однородности. "Введение" Ферма долгое время, остававшееся в рукописи, не нашло такого широкого распространения, какое получила "Геометрия" Декарта. Декарт преодолел недостаток геометрии Ферма. Он показал, что если зафиксирован единичный отрезок, то все величины, в независимости от их размерности могут быть представлены одинаковым образом, также он зафиксировал положение и угол наклона оси ординат. Теперь умножение и другие арифметические действия давали величину, однородную с исходными. Поэтому, например, каждому отрезку х и многочлену Р(х) с рациональными коэффициентами можно поставить в соответствие другой отрезок у=Р(х). Можно предположить, что Декарт и Ферма уже использовали символику, предложенную Виетом, поскольку М. Клайн говорит о том, что математическое определение производной (в виде формулы, записанной буквами, фиксирующей отношение между приращениями функций) принадлежит Ферма. Этим двум ученым удалось установить соответствие между алгебраическим видом формулы вида у=Р(х) и ее геометрической формой, тем самым они положили начало совершенно новому пониманию кривой, как линии зафиксированной определенной системой координат на плоскости, которую алгебраически можно задать уравнением.

Другая информация:

Психологические особенности восприятия в старшем школьном возрасте
“Восприятие – отражение предметов и явлений, целостных ситуаций объективного мира в совокупности их свойств и частей при непосредственном воздействии их на органы чувств”. Иногда наши органы чувств подводят нас, как бы обманывают. Это называется иллюзией. Зрение поддается иллюзиям больше, чем други ...

Экологические особенности изучения темы «Аминокислоты»
Человеческое тело не может запасать белки, поэтому сбалансированное белковое питание требуется человеку каждый день. Взрослому человеку весом 82 кг требуется 79 г белка в день. Рекомендуется, чтобы при этом с белками поступало 10 - 12% всех калорий. L-триптофан - незаменимая аминокислота с обширным ...

Семейные формы воспитания детей-сирот
Сегодня можно говорить, что в Российской Федерации в соответствии с Семейным кодексом введены следующие формы устройства сирот: усыновление, опека, приемная семья, семейный детский дом, учреждения для детей, нуждающихся в государственной поддержке. Мировой и отечественный опыт показывают, что гаран ...