Логико-историческая реконструкция понятия функции

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий в математике является понятие функции. Начало понятию функции было положено в Древней Греции при обнаружении отношений между величинами, развитие этой линии привело к тому, что под функцией стали понимать зависимость между переменными. В XVI - XVII в.в. ученые создали геометрическую интерпретацию уравнений и зависимостей в декартовой системе координат, что позволило выделить такую характеристику функциональной зависимости как однозначность. В средние века преимущественно в Индии развивается аппарат работы с уравнениями, что в последствии окажет существенное влияние на аналитическую запись функции. Эти исторические моменты подготовили базу для того, чтобы ученым XVIII – XIX в. удалось сформулировать определение понятия функции, выделить его составляющие.

К настоящему времени в содержание понятия функции включены три аспекта:

1. Функция-формула, посредством которой зависимость между переменными задается в виде формулы y=f(x), здесь важным является то, что зависимость о которой идет речь, однозначна, так как значению переменной х ставится в соответствие единственное значение у. Это явно видно в геометрической интерпретации зависимости в виде графика в системе координат.

2. Функция-отношение. Такой подход используется в алгебре, где функция, например, определяется как подмножество декартова произведения Х1Х2…Хп, т.е. множество упорядоченных п-ок чисел (х1, х2,…,хп).

3. Функция-отображение. Такой подход к пониманию зависимости появился тогда, когда математики стали рассматривать зависимость между множествами элементов. Например, функцией на множестве А со значениями в множестве В называется правило, по которому каждому элементу из А сопоставляется элемент из В. Ныне такое понимание функции используется, например, в теории множеств.

Рассмотрим логику возникновения понятия функции. Отметим, что поскольку ученые ставили себе задачу найти закон, описывающий тот или иной процесс, то это способствовало развитию алгебраического аппарата, который помогал фиксировать отношения между величинами. Первые зависимости записывали в неявном виде, как уравнения. Например, алгебраисты Индии, начиная с VII в. умели уже решать задачи, которые, говоря современным языком, сводились к системам линейных уравнений с двумя переменными. Вершина достижения индийской математики в теории чисел – описание решения в целых, положительных числах неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными ax2 +b=y2 , где a –целое число, не являющееся квадратом. С помощью такого подхода к пониманию зависимости развивался аппарат для записи математических формул. Поскольку первым способом зафиксировать отношения были уравнения, то и первые зависимости также представляли собой равенства – уравнения. Позднее в XVIII веке начал оформляться современный функциональный аппарат.

Отметим, что нам удалось выделить три этапа становления понятия функции. На первом этапе понятие функции формировалось в качестве зависимости между величинами. Второй этап развития понятия функции связан с оформлением представления о функции как однозначной зависимости между двумя видами переменных. В качестве последнего этапа можно обозначить появление в определении функции области определения и область значения переменных. Мы опишем этот этап в рамках развития определений понятия функции. Нам удалось выделить три подэтапа формирования понятия функции как зависимости между двумя переменными, которое образовалось в процессе трансформации представлений об отношении между переменными величинами. На первом подэтапе учеными рассматривались отношения между постоянными величинами, на втором – появились задачи, в которых требовалось описать закономерности между переменными величинами, на третьем - появились идеи о предельном переходе, связанные с рассмотрением отношения между бесконечно малыми величинами.

Другая информация:

Основные направления и формы развития детского творчества в учреждениях дополнительного образования
По своему содержанию дополнительное образование детей является всеохватывающим. В окружающей нас действительности, будь то живая или неживая природа, система общественных отношений, сфера сознания, нет ничего такого, что не могло бы стать предметом дополнительного образования. Именно поэтому оно в ...

Цель и задачи трудового воспитания
Трудовое воспитание есть процесс вовлечения детей в разнообразные педагогически организованные виды общественно полезного труда с целью передачи им минимума производственного опыта, трудовых умений и навыков, развитие у них творческого практического мышления, трудолюбия. Человеческим трудом создают ...

Психолого-педагогическая характеристика учащихся начальных классов специальных школ
Умственно отсталые дети - одна из наиболее многочисленных категорий детей, отклоняющихся в своем развитии от нормы. Они составляют около 2,5% от общей детской популяции. Понятие «умственно отсталый ребенок» включает весьма разнообразную по составу массу детей, которых объединяет наличие повреждения ...