Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка F1F2. а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис Di (i=1,2) эллипс можно записать следующим образом:

уравнение директрисы D1: x = -

уравнение директрисы D2: х =

Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике |х|а, |у|b стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса.

Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы - на расстоянии >а (0<е<1), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса.

Как мы только что выяснили, директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис.

Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а расстояние от центра эллипса до фокуса равно с, то р равно -с. Так как с = ае, то для р получаем следующее выражение

(1.27)

Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис.

Теорема 1.1. Отношение расстояния ri от точки М эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету е этого эллипса.

Доказательство. Пусть F1 и F2 - фокусы эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат см. рис. 6.10. выше мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния r1 и r2 от точки М(х,у) эллипса до фокусов F1 и F2 определяются формулами (1.6). Так как отношение -

равно эксцентриситету е этого эллипса, то для r1 и г2 мы получим выражения

r1 = a+ex, r2=а- ex.(1.28)

Найдем теперь расстояния di от точки М эллипса до директрис Di. Используя уравнения директрис Di (см. формулы (1.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид

D1:= 0 D2: = 0 (1.29)

Так как точка М(х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис, то расстояния d1 и d2 от точки М(х, y) до директрис D1 и D2 равны соответствующим отклонениям М(х, у) от D1 и D2, взятым со знаком минус, и мы получим (в силу (1.29)):

(1.30)

Используя формулы (1.28) и (1.30), найдем, что

Теорема доказана.

Директрисы гиперболы. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F1 и F2 гиперболы, через а ее действительную полуось и через О ее центр (рис. 6.11). Пусть е - эксцентриситет этой гиперболы и - плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через i, (i=1,2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1,2).

Определение. Директрисой Di (i=1,2) гиперболы, отвечающей фокусу Fi (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости i (i=1,2) перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии - от ее центра.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка FiF2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Тогда, очевидно, уравнения директрис Di (i=1,2) гиперболы можно записать следующим образом:

уравнение директрисы Di:

Другая информация:

Структура сети образовательных учреждений Пензенской области
В Пензенской области идут процессы, направленные на оптимизацию сети образовательных учреждений, обеспечивающих доступность качественного образования. За период с 2006 по 2009 год число дневных общеобразовательных школ сократилось с 754 до 630, то есть на 124 учреждения (16%). В 2010 году число общ ...

Развитие познавательной активности
Вопросы активизации учения учащихся относятся к числу наиболее актуальных проблем современной педагогической науки и практики. Реализация принципа активности в обучении имеет определенное значение, т.к. обучение и развитие носят деятельностный характер, и от качества учения как деятельности зависит ...

Характеристика среднего школьного возраста
Средний школьный возраст (от 10-11 до 15 лет) – переходный от детства к юности. Он совпадает с обучением в школе второй ступени (V – IX кл.) и характеризуется общим подъёмом жизнедеятельности и глубокой перестройкой всего организма. Душевный мир подростка характеризуется психологией полуребёнка – п ...