Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

r1= - а - , при х<0

- а+, при x>0

r2=

а - , при х<0 (1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем |r1-r2| =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

6. Свойства гиперболы

1°.Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.

Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы.

Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы.

Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает из того, что в уравнении (1.9) величины х и у фигурируют в четных степенях.

Рис. 9

Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.9) (т.е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х,-у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х,-у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6).

Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (1.9), то главными осями этой гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы - начало координат.

Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью гиперболы, точки А(-а, 0) и В (а, 0) - вершинами гиперболы и ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого достаточно доказать, что ось Ох пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет общих точек с гиперболой. Так как ординаты точек оси Ох равны нулю, то для выяснения величины абсцисс точек пересечения этой оси с гиперболой нужно в уравнении (1.9) положить у=0. После этого мы получим уравнение , из которого находятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой. Полученное уравнение имеет решения х=-a и х=a. Следовательно, ось Ох пересекает гиперболу (т. е. является ее действительной осью) в точках А(-а, 0) и В (а, 0) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (1.9) уравнение , которое не имеет действительных решений. Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы.

Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2°. Рассмотрим область G, которая получена объединением прямоугольника D, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам |х|<а,|у|<b, и тех двух углов, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. 6.6 эта область заштрихована). Убедимся, что в области G нет точек гиперболы.

Разобьем область G на две части G1 и G2, где G1 представляет собой полосу, абсциссы x точек которой удовлетворяют неравенству |х|<a, a G2 - остальная часть области G (Область G1 представляет собой, очевидно, полосу, заключенную между безгранично продолженными вертикальными сторонами прямоугольника D. Область G2 состоит из четырех частей, каждая из которых располагается в одном из координатных углов.)

Очевидно, в полосе G1 нет точек гиперболы, так как абсциссы х точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству |х| а (Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что ). Обратимся теперь к точкам области G2. Заметим, что каждая точка G2 либо лежит на диагонали прямоугольника D, либо за его диагональю. Поскольку диагонали D определяются уравнениями и то координаты х и у точек G2 в силу их расположения удовлетворяют неравенству (Абсциссы х точек G2 не равны нулю). Из этого неравенства вытекает неравенство из которого в свою очередь следуют неравенства . а так как для точек гиперболы , то в области G2 нет точек гиперболы.

Другая информация:

Развитие литературно-творческих способностей детей на уроках литературы
Основная миссия учителя-словесника – развитие личности ребёнка через слово и творчество. Творческую деятельность всегда отличают такие специфические черты, как воображение, образность, наитие. Литературное словотворчество – удел отнюдь не только исключительно одарённых людей, избранных натур. Многи ...

Способы совершенствования речи у детей в раннем возрасте
К полутора годам малыш обычно произносит все гласные звуки (хотя и не всегда четко), ему доступны многие согласные звуки (м, п, б, к, г, т, д, н, в, ф, х), а также звук й. Многие из согласных звуков произносятся смягченно (дяй вместо дай). Отчетливость произнесения звуков во многом зависит от их ме ...

Классификация учреждений дополнительного образования, их характеристика
Выделяют следующие виды учреждения дополнительного образования: Центр, школа дополнительного образования, Дворец (Дом), клуб, станция, детский парк и др. Рассмотрим классификацию учреждений дополнительного образования подробнее. Центр, как учреждение дополнительного образования,– многопрофильное и ...