Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

(-а,0), (0,b), (а,0), (0,-b).

Если эллипс представляет собой окружность, то любая прямая, проходящая через центр окружности, является осью симметрии. Отметим, что центром эллипса является точка пересечения главных осей

Рис. 7

Длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b. Так как 2a > 2b, то главная ось, образующая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса. Другая главная ось называется малой осью эллипса.

Если эллипс задан уравнением (1.4), то при а>b большой осью будет ось Ох, а малой - ось Оу. При b>а большой осью будет ось Оу, а малой - Ох.

Фокусы эллипса располагаются на его большой оси.

2°. Эллипс содержится внутри прямоугольника |x|a,

|у|b (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован). В самом деле, из канонического уравнения (1.4) вытекает, что и , Эти неравенства очевидно, эквивалентны неравенствам |x|a и |y|b.

3°. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис. 6.5), заданную уравнением

(1.16)

Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т.е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х, у) перейдет в точку с координатами (), причем х=, а =. Очевидно, при этом преобразовании окружность (1.16) перейдет в кривую, определяемую уравнением

т. е. в эллипс.

5. Гипербола.

Рис. 8

Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Ft и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F1F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.2. Пусть длина отрезка F1F2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F1 и F2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a<2с, т. е. а<.с.

Пусть М-точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6,2). Обозначим через r1 и r2 расстояния MF1 и MF2. Согласно определению гиперболы равенство

|r1 - r2| = 2a (1.7)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.

Используя выражения (1.2) для r1 и r2 и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:

|(1.8)

Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (6.8) к виду

(1.9)

где b2=a2-c2 (1.10)

Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r1 и r2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r1 и r2 следующие выражения:

а+, при x>0

Другая информация:

Разработка программы по развитию музыкальных способностей школьников в детском музыкальном театре
Программа кружка «Музыкальный театр» Пояснительная записка В настоящее время многие школьники не задумываются о том, как они проводят свое свободное время, время свободное от учебных занятий. Чаще всего это просмотр телевизора, игры на компьютере или бессмысленное брождение по улицам. Зачастую, род ...

Характеристика современного состояния проблемы
Определяющим фактором в системе сохранения и развития здоровья подрастающего поколения может стать здоровьеориентированный образовательный процесс в школе. Вместе с тем чрезвычайно широкая трактовка термина «здоровье» создает существенные методологические и технологические трудности в достижении эт ...

Элективные курсы в образовательной области «Математика»
Среди школьных предметов математика занимает совершенно особое место. В середине прошлого века в старших классах отечественной школы много внимания и как следствие учебного времени уделялось математике. Специфика преподавания математики в старших классах во многом определяется тем, что экзамен по м ...