Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Из последних формул вытекает, что , эти равенства означают подобие рассматриваемых парабол относительно точки О.

5°. Отметим, что кривая у2=2рх при р<0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.

9. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы

Определение параболы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.

Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с - половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а - большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная

e=(1.24)

Учитывая связь величины с с длинами а и b большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (1.5) и (1.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е:

для эллипса(1.25)

для гиперболы (1.25')

Из формул (1.25) и (1.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы

Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности b= а).

Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (1.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (1.25') для эксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение малой и большой полуосей (гиперболы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение - мнимой и действительной полуосей). Такие эллипсы (гиперболы)" подобны

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет

Рис. 13

е (см. формулу (1.25)), тем меньше отношение - малой полуоси эллипса b

к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение равно

тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Рис. 14

1°. Директрисы эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности, эллипс имеет большую и малую оси и центр - точку пересечения этих осей. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F1 и F2 эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.10).

Пусть е - эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то еО) и - плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через i (i=1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1, 2).

Определение. Директрисой Di (i=1, 2) эллипса, отвечающей фокусу Fi (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости i (i = 1,2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

Другая информация:

Возрастные особенности юных баскетболистов
Баскетбол – одна из самых популярных игр в мире, самый массовый, представительный и зрелищный вид спорта. Баскетбол имеет не только оздоровительно-гигиеническое значение, но и агитационно-воспитательное. Он является увлекательной атлетической игрой, представляющей собой эффективное средство физичес ...

Характеристика детей экспериментальной группы
В экспериментальную группу вошло 15 детей, которые посещали общеобразовательные дошкольные учреждения. Из них - 10 детей с доминирующим черкесским языком и с недоминирующим русским, 4 ребенка с доминирующим русским и с недоминирующим черкесским, 1 ребенок, абсолютно эквивалентно владеющий 3-мя язык ...

Образец плана урока с использованием проектной методики для обучения иноязычному общению в 9 классе средней школы
Topic: "Music of Our Town" T. What is music? Specialists explain it very well: " Music is art of combining sounds that have rhyth, harmony and melody."But music isn't a combination of pleasant sounds only. Can you explain what is music for you? P.1. I think music is beauty in so ...