Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Из последних формул вытекает, что , эти равенства означают подобие рассматриваемых парабол относительно точки О.

5°. Отметим, что кривая у2=2рх при р<0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.

9. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы

Определение параболы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.

Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с - половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а - большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная

e=(1.24)

Учитывая связь величины с с длинами а и b большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (1.5) и (1.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е:

для эллипса(1.25)

для гиперболы (1.25')

Из формул (1.25) и (1.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы

Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности b= а).

Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (1.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (1.25') для эксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение малой и большой полуосей (гиперболы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение - мнимой и действительной полуосей). Такие эллипсы (гиперболы)" подобны

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет

Рис. 13

е (см. формулу (1.25)), тем меньше отношение - малой полуоси эллипса b

к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение равно

тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Рис. 14

1°. Директрисы эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности, эллипс имеет большую и малую оси и центр - точку пересечения этих осей. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F1 и F2 эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.10).

Пусть е - эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то еО) и - плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через i (i=1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1, 2).

Определение. Директрисой Di (i=1, 2) эллипса, отвечающей фокусу Fi (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости i (i = 1,2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

Другая информация:

Описание возрастных особенностей младших школьников
Младший школьный возраст часто называют вершиной детства. В современной периодизации психического развития он охватывает от 6-7 до 9-10 лет. С физиологической точки зрения – это время активной перестройки организма. В этот период активно развивается нервная система, увеличивается интенсивность рабо ...

Международные форматы и спецификации представления образовательной информации в информационных системах
Индустрия компьютерных средств обучения развивается на протяжении уже более двадцати пяти лет. На первых порах в учебном процессе использовались различные программно-методические комплексы для освоения студентами элементов информационных технологий. Примерами таких комплексов могут служить учебно-и ...

Конфликт как столкновение субъектов
В основе любого конфликта лежит противоречие, то есть такое положение, при котором нечто одно исключает другое. Конфликт всегда сопровождается большим психологическим напряжением. Конфликт, как явление действительности, становится конфликтом лично для нас тогда, когда столкнувшиеся в нем противореч ...