Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Рис. 23

Обозначим через l линию пересечения плоскостей π и σ. Возьмем произвольную точку X сечения конуса плоскостью π и найдем точку Y пересечения образующей SX с плоскостью σ и проекцию Z точки X на прямую l. Тогда XF=XY как касательные к сфере. С другой стороны, точки Y и Z лежат в плоскости σ, угол между XY и σ равен углу между образующей конуса и плоскостью, перпендикулярной его оси, а угол между XZ и σ – углу между плоскостями π и σ. В силу выбора плоскости π эти углы равны. Значит, XY =XZ как наклонные, образующие равные углы с плоскостью σ. Следовательно, XF =XZ, и точка X лежит на параболе с фокусом F и директрисой l.

Таким образом, всякая невырожденная кривая второго порядка может быть получена как сечение конуса. Поэтому такие кривые называют также коническими сечениями.

Надо сказать, что если вместо конуса будет цилиндр, то абсолютно такими же рассуждениями можно показать, что его сечением будет эллипс. Соответственно, эллипс может быть получен как параллельная проекция окружности.

Сферы, вписанные в конус и касающиеся секущей плоскости, называются сферами Данделена.

13. Законы Кеплера

Эти три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом И.Кеплером в начале 17 века и поэтому названы законами Кеплера. Они сыграли большую роль в установлении И.Ньютоном закона всемирного тяготения и вошли в небесную механику в обобщенном и уточненном виде. В такой форме они описывают орбиты двух гравитационно - связанных небесных тел при отсутствии возмущений со стороны других тел (т.н. задача двух тел). Формулировка законов Кеплера в общем случае приведена далее:

1-й закон. В невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка (эллипс, парабола или гипербола), в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения (или центр масс системы).

2-й закон (закон равных площадей). В невозмущенном движении площадь, описываемая радиус-вектором движущегося тела, измеряется пропорционально времени (в равные промежутки времени описывает равные площади).

3-й закон. В отличие от двух первых, применим только к эллиптическим орбитам. В обобщенном виде обычно формулируется так: квадраты периодов T1 и T2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M1 и M2), и Солнца (MS), относятся как кубы больших полуосей a1 и a2их орбит:

(1)

Однако необходимо сделать одно замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обеих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). Причем в любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а их расстояния до центра масс r1 и r2 тел массой соответственно M1 и M2 связаны следующим соотношением: Перицентры и апоцентры (если орбиты замкнутые) своих орбит тела будут также проходить одновременно.

Движение по орбитам

1. Движение по круговой орбите

Хотя окружность является частным случаем эллипса (e = 0), описать движение тела по круговой орбите проще всего. В этом случае, согласно закону всемирного тяготения, на тело массой m, находящегося на расстоянии r от центрального тела массой М, действует сила притяжения

(G - гравитационная постоянная), которая уравновешивается центробежной силой F'=m*2*r , где  - угловая скорость тела m. Для кругового движения r не меняется, поэтому сила F остается постоянной по величине, а это означает, что и угловая скорость не меняется. Поскольку линейная скорость V=*r (также постоянна), то из равенства F=F' получится формула: VI = (5) Скорость VI получила название круговой, или первой космической скорости. Период Т, в течении которого тело m совершит полный оборот вокруг тела М, можно получить как частное от деления длины окружности радиуса r (2**r) на скорость VI , то есть T =

Другая информация:

Национальный элемент в воспитании
В основе отмеченных перемен в воспитании лежит, по существу, один принцип новой эпохи, — новое отношение к человеческой личности, к индивидууму. Но человек не исчерпывается индивидуальностью; человеческая жизнь — не жизнь особи. Как дух человека неразделен с внешним ему, многочленным телом, в котор ...

Понятие детского коллектива в психолого-педагогической литературе
В отечественной педагогике много внимания уделялось и уделяется разработке теории и методики воспитания в коллективе. Теория коллективного воспитания явилась достижением мировой педагогической мысли. Заключенные в коллективе большие педагогические возможности делают его могучим и ничем не заменимым ...

Способности как психологический аспект
Одной из самых сложных и интересных проблем психологии является проблема индивидуальных различий. Трудно назвать хоть одно свойство, качество, черту человека, которое не входило бы в круг этой проблемы. Психические качества и свойства людей формируются в жизни, в процессе обучения, воспитания, деят ...