Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

p= (13) e= (14)

Из (13) следует, что при возрастании угла 0 от 0o до 90o параметр p также растет от 0 до pmax = , а когда 0 изменяется от 90o до 180o, p убывает от pmax до 0. При 0 = 0o и 0 = 180o параметр p = 0 и орбита вырождается в отрезок прямой.

Выражение e через начальные параметры из (14) зависит от знака разности r0*V02 - 2G*M, который определяет тип орбиты. При r0*V02 - 2G*M < 0 орбита всегда остается эллипсом, и при изменении угла 0 от 0o до 90o e уменьшается от 1 до emin = , а при увеличении 0 от 90o до 180o e снова увеличивается от emin до 1. Поскольку q = , то при увеличении от 0o до 180o расстояние в перицентре q растет от 0 до r0.

Величину большой полуоси a и малой полуоси b также можно выразить через начальные параметры: a = (15) b =

(16)

В предельном случае (при sin(0)=0) эллипс вырождается в конечный отрезок прямой, длина которого равна 2*a и концы которого одновременно являются и фокусами, и вершинами вырожденного эллипса, причем один из его концов - перицентр - совпадает с началом координат, т.е. с притягивающим центром.

3. Движение по параболической орбите

Параболу можно рассматривать и как предельный случай эллипса, и как предельный случай гиперболы. Для параболической орбиты выполняется условие V02 = (17). Скорость V0 называется параболической, или второй космической скоростью VII. Сравнивая эту формулу с выражением (5) для первой космической скорости, можно заметить, что VII = VI* . При данном расстоянии r0 до притягивающего центра вторая космическая скорость - это минимальная скорость, необходимая для преодоления притяжения центрального тела. Для Земли (r0=6378.1 км) VII= 11.179 км/c. Для того, чтобы тело навсегда покинуло Солнечную систему, на расстоянии Земли (r0=149.6 млн. км) ему нужно придать скорость VIII= 42.1 км/с. Скорость VIII иногда называют третьей космической скоростью.

Уравнение параболической орбиты можно представить как зависимость радиус-вектра от фокального параметра p (или расстояния в перицентре q=) и истинной аномалии: r = (18)

Уравнение движения по параболе - зависимость истинной аномалии от времени t (и времени прохождения перицентра) выглядит так:

(19)

В параболическом движении истинная аномалия меняется от -90o до +90o. При (прохождение перицентра) и радиус-вектор достигает минимального значения rmin = q = 2*p, а скорость - максимального

V2max= .

При возрастании r до бесконечности скорость падает до нуля.

Зависимость фокального параметра p от начальных радиус-вектора r0 и угла между направлением радиус-вектора и направлением начальной скорости выражается следующим образом:

p = 2r0*sin2 (20)

В предельном случае, при парабола вырождается в полупрямую, выходящую из начала координат, которое является одновременно и вершиной, и фокусом вырожденной параболы.

Теперь в качестве примера применения теории эллиптического и параболического движения можно привести следующую задачу: сколько времени понадобится ракете, стартующей с земной орбиты с минимально необходимой начальной скоростью, чтобы удалиться от Солнца на 2 пк? Если представить орбиту параболической, то минимальная начальная скорость будет примерно равна VIII= 42.1 км/с, и, казалось бы, для решения задачи нужно просто разделить 2 пк на VIII, что составит примерно 46.5 тыс. лет. Однако нетрудно заметить, что это значение справедливо только при условии постоянного (в течении 46 тыс. лет!) поддержания скорости ракеты на уровне 42.1 км/c, т.е. работа двигателей должна постоянно компенсировать потерю кинетической энергии, связанную с преодолением притяжения Солнца. Если же ракета разгоняется вблизи орбиты Земли и дальше движется по инерции, то ее скорость будет постоянно уменьшаться, и поэтому время, затраченное на преодоление 2 пк, будет существенно больше. В этом случае проще будет взять эллиптическую орбиту с a=1 пк (если пренебречь перигелийным расстоянием, то в афелии удаление от Солнца составит как раз 2 пк), тогда из (12) получим полный период обращения по такой орбите. Он составит 93.7 млн. лет, то есть искомое время (половина периода) будет около 46.8 млн. лет! Отсюда ясно, с какими трудностями сопряжена при современном развитии космической техники посылка аппарата даже к ближайшей звезде.

Другая информация:

Пути развития системы специализированной помощи детям с ограниченными возможностями здоровья на современном этапе
Первый этап реформирования системы специального образования завершился определёнными позитивными изменениями в этой сфере. Второй этап реформирования предполагает несколько направлений: • создание на основе учреждений детского здравоохранения и психолого-медико-педагогических консультаций единой го ...

Повышение квалификации работников системы образования как часть реализации национального проекта в сфере образования
В последнее время значительно расширился спектр образовательных программ, предлагаемых руководящим работникам системы образования; обновилось их содержание; начат переход к разноуровневым и модульным образовательным программам. Приоритетный национальный проект «Образование» разработан таким образом ...

Воспитание детей в семье
Более 60 лет назад Макаренко А. ратовал за семью с несколькими детьми, поскольку такая семья представляет собой коллектив, где воспитателями выступают не только родители, но и дети по отношению друг другу. Сегодня нет однозначного подхода к этой проблеме: есть плюсы и минусы в воспитании и единстве ...