Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Но F1Y + F2Y равно длине веревки, т. е. большой оси эллипса. Рассуждая аналогично в случае, если точка X лежит вне эллипса, получаем F2Y <XY +XF2. Следовательно, F1X+XF2 =F1Y+YX+XF2 >F1Y+F2Y.

Рис. 26

Упражнение 2. Найдите геометрическое место середин хорд эллипса, параллельных данному направлению.

Решение. Рассмотрим эллипс как параллельную проекцию окружности. Тогда параллельным хордам эллипса и их серединам соответствуют параллельные хорды окружности и их середины, лежащие на диаметре окружности. Следовательно, геометрическим местом середин параллельных хорд эллипса также будет некоторый его диаметр (хорда, проходящая через центр).

Упражнение 3. С помощью циркуля и линейки найдите фокусы данного эллипса.

Решение. Построим две параллельные хорды эллипса. По предыдущему упражнению прямая, соединяющая их середины, является диаметром эллипса. Построив таким образом два диаметра, мы найдем центр эллипса О. В силу симметрии эллипса окружность с центром О пересекает эллипс в четырех точках, образующих прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса. Теперь фокусы эллипса можно найти как точки пересечения большой оси и окружности с центром в конце малой оси и радиусом, равным большой полуоси.

Задачи:

Дано уравнение а) 3х2 + у2 = 7. Изобразить эллипс двумя способами.

I способ:

Запишем его в виде . Устанавливаем, что , строим осевой прямоугольник со сторонами 2R, l и изображаем сам эллипс (рис. 17). Отметим, что в правой части уравнения должно быть положительное число, а в левой – сумма квадрата абсциссы, взятого с положительным коэффициентом, и квадрата ординаты.

Рис. 27

II способ

Приведём уравнение к каноническому виду.

Разделим обе его части на 7.

Получим, что

Строим осевой прямоугольник со сторонами а и 2b, а затем изображаем эллипс.

Отметим, что, например, уравнение 3х2 + 5у2 = 7 следует сначала преобразовать к виду х2 + у2 = или а затем находить R, k и a, b соответственно.

Если центр эллипса находится не в начале координат, но его оси параллельны координатным осям, то он задаётся уравнением (4), где С (а; b) – центр эллипса. Это легко следует из формул параллельного переноса, или каноническим уравнением

(5) – С (х; у) – центр эллипса.

Данного материала достаточно для построения эллипса в том случае, если он задан уравнением, содержащем как квадраты, так и первые степени переменных.

б) Построить график

I способ

Преобразуем к виду (4):

Это уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где k = (рис. 28)

Рис. 28

II способ

Преобразуем к виду (5): . Получили уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где а = 3, b = 2.

Строим сам эллипс.

Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих эллипсов:

а)

Приводим уравнение к каноническому виду , а = 3, b = 2.

Фокусы F1 и F2 имеют координаты F1(с; 0) и F2(– с; 0).

Итак, F1(; 0) и F2(; 0) а = 3, b = 2.

б)

Другая информация:

Дополнительное образование детей в России: история и современность
Дополнительное образование детей, в недалеком прошлом внешкольное воспитание, – своеобразный феномен системы образования. На всем протяжении истории отношение к внешкольному образованию и его участию в образовании и воспитании человека постоянно менялось от полного непризнания до отведения главной ...

Методическая служба в условиях развития республиканской системы последипломного образования педагогов
Деятельность методического кабинета улусного управления образования строилась на концептуальной идее республиканской системы последипломного образования педагогов - удовлетворять индивидуальные потребности и интересы педагогов в их профессиональном, общекультурном росте, духовном развитии. Ведущие ...

Психологические особенности организации самостоятельной работы
Педагоги и психологи предлагают разные пути интенсификации учебного процесса. Видный психолог, который занимается психологическими процессами в обучении иностранному языку, В.А. Артёмов объединяет все пути в два магистральных направления обучения: усовершенствование методики обучения усовершенствов ...