Изучение многогранников в школьном курсе математики

В школьных учебниках после изучения «бес­конечно-протяженных» и в силу этого весьма абстрактных геомет­рических фигур: прямых и плоскостей (вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в пер­вую очередь многогранники. Многогранник {точнее, модель много­гранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» - посмотреть на сечение. В дан­ной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использо­вать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внима­ние и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим немного позднее.

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изу­чение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматри­ваются простые характеристики - численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, - и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики - ­это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные много­гранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго опреде­ляются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов - призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,… . Более детальная классификация - по взаимному располо­жению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная»:

И далее:

Школьная классификация пирамид менее разветвленная:

Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естествен­ный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипе­дам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Последнее преимущество обусловлено свойствами симметрично­сти; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избран­ным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и на­половину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). По­этому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).

Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - на­учить школьников решать задачи. Практически все задачи (упраж­нения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем рас­крываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах на­ходят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, све­дение стереометрических задач к планиметрическим.

Другая информация:

Программы по литературе для старших классов; стандарты изучения современной литературы
Современный учитель литературы поставлен сегодня перед необходимостью выбора учебников и программ по литературе. Это первая проблема в преподавании литературы вообще, и в частности, современной. Нужно выбирать не учебник, а программу, к которой существует полный или неполный перечень книг, входящий ...

Разработка программы по развитию музыкальных способностей школьников в детском музыкальном театре
Программа кружка «Музыкальный театр» Пояснительная записка В настоящее время многие школьники не задумываются о том, как они проводят свое свободное время, время свободное от учебных занятий. Чаще всего это просмотр телевизора, игры на компьютере или бессмысленное брождение по улицам. Зачастую, род ...

Информационные технологии в обучении математике
Очень часто сознательно или бессознательно и педагоги, и дети считают образовательный процесс тяжелым безрадостным трудом. Желание помочь ребенку подталкивает к применению новых форм и приемов педагогической техники. Применение компьютерных технологий позволяет заинтересовать, увлечь ученика. На ур ...