Подходы к определению многогранника

Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами:

Оно содержит внутренние точки, а внутренность его связна.

Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности.

Данное определение относится либо к множеству точек на плоскости, либо – в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости – плоской замкнутой областью или просто замкнутой областью, если ясно, что речь идет о фигуре на плоскости.

Из определения замкнутой области – как на плоскости, так и в пространстве – следует, что она состоит из внутренности и ее границы, которая оказывается так же границей самой замкнутой области. Поэтому замкнутую область можно определить несколько иначе. Замкнутая область – это множество точек, имеющее (не пустую) связную внутренность и состоящее из нее и ее границы.

Оба данные выше определения равносильны. Граница замкнутой области всюду прилегает к ее внутренности. У «куба с крылом» (рис 1.1) «крыло» входит в границу фигуры, но не содержится в границе ее внутренности. Граница тела называется его поверхностью.

В определении замкнутой области не требуется, чтобы она была ограниченной – имела конечные размеры; допускаются и бесконечные области. Примерами в пространстве могут служить полупространство, двугранный угол, как множество, ограниченное двумя полуплоскостями, и др. Все пространство тоже является телом – это единственное тело, не имеющее границы.

Часто в само понятие тела включают требование его ограниченности – конечности его размеров, но этого делать не будем, потому что в геометрии имеют дело и с бесконечными телами. Точно так же и в планиметрии встречаются и бесконечные области, например угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Дадим теперь определение многоугольника и многогранника.

Многоугольником называется замкнутая область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков. Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую ломаную.

Многогранником

называется тело конечных размеров, граница (поверхность) которого состоит из конечного числа многоугольников. Данное определение повторяет определение на основе наглядных представлений, однако теперь входящие в него понятия тела и его поверхности понимаются не только наглядно, но и с точки зрения данных им выше определений.

Нередко, как уже говорилось, многогранником называют не тело, ограниченное многоугольниками, а поверхность, составленную из многоугольников; такое словоупотребление встречается вне школьного курса даже чаще. Встречается и смешение терминов, когда «многогранник» понимается то в одном, то в другом смысле. Так, когда говорят, например, «склеим из развертки куб», то имеют в виду не тело, а поверхность.

Подобное употребление одного и того же слова в разных, хотя и тесно связанных, смыслах встречается в геометрии постоянно и, можно даже сказать, характерно для нее. Углом называют и фигуру, состоящую из двух лучей, и ограниченную ею часть плоскости; так же как двугранный угол понимается или как фигура из двух плоскостей, или как ограниченная ею часть пространства; многоугольником называют и ломаную, и ограниченную ею часть плоскости, и т. п. В этом нет ничего страшного, если каждый раз понимать, в каком именно смысле употребляется в данный момент тот или иной термин.

Можно дать другое определение понятия многогранника, если учесть следующее: фигура, составленная из многогранников, прилегающих друг к другу по граням или по кускам граней, сама оказывается многогранником, и так можно из простых многогранников составлять сколь угодно сложные. Это замечание можно уточнить и получить из него новое определение многогранника, исходя из самых простых многогранников – из тетраэдров. А именно выполняется теорема.

Теорема.

Всякое тело, составленное из тетраэдров, является многогранником и всякий многогранник можно разбить на тетраэдры или, что равносильно, составить из тетраэдров.

В несколько уточненной форме и не пользуясь понятием тела, эту теорему можно высказать так:

Фигура является многогранником

тогда и только тогда, когда ее можно составить из конечного числа тетраэдров так, что:

каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую вершину, или одно общее ребро, или одну общую грань;

от каждого тетраэдра к каждому можно пройти по тетраэдрам, последовательно прилегающим один к другому по целым граням.

Другая информация:

Проблемы и перспективы школьного экономического образования
Для многих людей в нашей стране стало аксиомой, что без экономических знаний нельзя чувствовать себя полноправным членом общества, а экономическая подготовка является необходимым атрибутом любой целесообразной деятельности. С другой стороны, явственно ощутима потребность общества в экономически гра ...

Основные методологические проблемы педагогической науки
Педагогика является сложной наукой, объединяющей и интегрирующей в себе данные всех естественных и общественных наук о человеке, о законах его развития и социального становления. Предметом педагогики являются объективные законы конкретно-исторического процесса воспитания, органически связанные с за ...

Методы проверки и оценки знаний, умений и навыков учащихся
Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся является важным структурным компонентом процесса обучения и в соответствии с принципами систематичности, последовательности и прочности обучения должна осуществляться в течение всего периода обучения. Этим обусловливаются различные виды проверки и ...